ملخص قوانين الاحتمالات للامتحانات (Probabilités)

آخر تحديث: 2026-10-13 · وقت القراءة: 9 دقائق

امتحانات Probabilités في الجامعة غالباً أسئلة اختيار من متعدد (QCM) تدور حول العد، والاحتمال الشرطي، والمتغيرات العشوائية. هذا الملخص يجمع القوانين التي تحتاجها مع أمثلة تطبّقها.

1) العد (Dénombrement)

• التبديلات: n! طريقة لترتيب n عنصراً مختلفاً.
• الترتيبات (Arrangements): A(n,p) = n!/(n−p)! عندما يهم الترتيب بدون تكرار.
• التوافيق (Combinaisons): C(n,p) = n!/(p!·(n−p)!) عندما لا يهم الترتيب.
• السحب مع الإرجاع (avec remise): nᵖ إمكانية لسحب p مرة من n عنصراً.

تباديل حروف كلمة (Anagrammes): نقسم n! على مضروب تكرار كل حرف. مثال: كلمة ANANAS فيها 6 حروف، منها A ثلاث مرات وN مرتان، فعدد التباديل 6!/(3!·2!) = 60.

2) قوانين الاحتمال الأساسية

• P(Ā) = 1 − P(A).
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• الاستقلال: A وB مستقلان إذا وفقط إذا P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
• قانونا دي مورغان: P(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B).

3) الاحتمال الشرطي

• P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) بشرط P(B) > 0.
• قانون الاحتمالات الكلية: P(A) = P(A|B)·P(B) + P(A|B̄)·P(B̄).
• قانون بايز: P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A).

مثال: في شركة، 20% من الموظفين إطارات، و30% من الإطارات يتحدثون الإنجليزية، و10% من غير الإطارات كذلك. احتمال أن يتحدث موظف عشوائي الإنجليزية: 0.2×0.3 + 0.8×0.1 = 0.14. وإذا علمنا أنه يتحدث الإنجليزية فاحتمال أن يكون إطاراً: 0.06/0.14 ≈ 0.43.

ارسم دائماً شجرة الاحتمالات؛ فهي تقلّل الأخطاء في هذه الأسئلة.

4) المتغيرات العشوائية المتقطعة

• شرط أساسي: مجموع الاحتمالات يساوي 1، وبه نجد المجهول في جدول القانون.
• الأمل الرياضي: E(X) = Σ xᵢ·P(X = xᵢ) والتباين: V(X) = E(X²) − E(X)².
• القانون المنتظم المتقطع على {1,…,n}: P(X=k) = 1/n و E(X) = (n+1)/2 و V(X) = (n²−1)/12.
• القانون الهندسي (loi géométrique) بالوسيط p: P(X=k) = q^(k−1)·p مع q = 1−p و E(X) = 1/p و V(X) = q/p². يمثل رتبة أول نجاح.
• القانون الثنائي (loi binomiale): P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ و E(X) = n·p و V(X) = n·p·q.

5) المتغيرات المستمرة

• الكثافة f تحقق ∫ f(x) dx = 1 على كل المجال، وبها نحسب الثابت المجهول.
• P(a < X < b) = ∫ₐᵇ f(x) dx و E(X) = ∫ x·f(x) dx.
• القانون المنتظم على [a,b]: E(X) = (a+b)/2 و V(X) = (b−a)²/12.

مثال محلول: f(x) = k·x² على [0, 2] وتساوي 0 خارجه.

1. ∫₀² k·x² dx = k·8/3 = 1 إذن k = 3/8.
2. P(0 < X < 1) = ∫₀¹ (3/8)x² dx = 1/8.
3. E(X) = ∫₀² x·(3/8)x² dx = (3/8)·(2⁴/4) = 3/2.

6) القانون الطبيعي (loi normale)

إذا كان X ~ N(μ, σ) فإن Z = (X − μ)/σ ~ N(0,1). نحول كل سؤال إلى Z ونستعمل جدول الدالة التراكمية Φ، مع الخاصية Φ(−x) = 1 − Φ(x).

مثال: X ~ N(5000, 100). P(X < 5200) = Φ((5200−5000)/100) = Φ(2). وبالجدول ≈ 0.9772.

مثال على المجال: P(−1 < Z < 1) = Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1.

نصائح لحل QCM

• اقرأ هل النقاط تُخصم عند الخطأ (barème). قد يكون ترك السؤال أفضل من التخمين.
• أحياناً الإجابة الصحيحة ليست بين الاقتراحات، فيوجد خيار «Autre». تحقق من حسابك قبل اختياره.
• استعمل التحقق: احتمال لا يتجاوز 1 أبداً، ومجموع احتمالات القانون يساوي 1.
• حلّ امتحانات السنوات السابقة بالترتيب وراقب الوقت.